BAB 1 KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

KINEMATIKA adalah Ilmu gerak yang membicarakan gerak suatu benda tanpa memandang gaya yang bekerja pada benda tersebut (massa benda diabaikan). Jadi jarak yang ditempuh benda selama geraknya hanya ditentukan oleh kecepatan v dan atau percepatan a.

GLB
Gerak Lurus Beraturan (GLB) adalah gerak lurus pada arah mendatar dengan kocepatan v tetap (percepatan a = 0), sehingga jarakyang ditempuh S hanya ditentukan oleh kecepatan yang tetap dalam waktu tertentu.

Pada umumaya GLB didasari oleh Hukum Newton I ( S F = 0 ).

S = X = v . t ; a = Dv/Dt = dv/dt = 0

v = DS/Dt = ds/dt = tetap

Tanda D (selisih) menyatakan nilai rata-rata.

Tanda d (diferensial) menyatakan nilai sesaat.

GLBB

Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) adalah gerak lurus pada arah mendatar dengan kecepatan v yang berubah setiap saat karena adanya percepatan yang tetap. Dengan kata lain benda yang melakukan gerak dari keadaan diam atau mulai dengan kecepatan awal akan berubah kecepatannya karena ada percepatan (a= +) atau perlambatan (a= -).

Pada umumnya GLBB didasari oleh Hukum Newton II ( S F = m . a ).

vt = v0 + a.t vt2 = v02 + 2 a S S = v0 t + 1/2 a t2

v_t = kecepatan sesaat benda
v₀ = kecepatan awal benda
S = jarak yang ditempuh benda
f(t) = fungsi dari waktu t

v = ds/dt = f (t) a = dv/dt = tetap

Syarat : Jika dua benda bergerak dan saling bertemu maka jarak yang ditempuh kedua benda adalah sama.

GRAFIK GLB-GLBB

Grafik gerak benda (GLB dan GLBB) pada umumnya terbagi dua, yaitu S-t dan grafik v-t.

Pemahaman grafik ini penting untuk memudahkan penyelesaian soal.

Khusus untuk grafik v-t maka jarak yang ditempuh benda dapat dihitung dengan cara menghitung luas dibawah kurva grafik tersebut.

GERAK JATUH BEBAS:

y = h = 1/2 gt2 t = Ö(2 h/g) yt = g t = Ö(2 g h)

adalah gerak jatuh benda pada arah vertikal dari ketinggian h tertentu tanpa kecepatan awal (v₀ = 0), jadi gerak benda hanya dipengaruhi oleh gravitasi bumi g.

g = percepatan gravitasi bumi.
y = h = lintasan yang ditempuh benda pada arah vertikal,(diukur dari posisi benda mula-mula).
t = waktu yang dibutuhkan benda untuk menempuh lintasannya.

GERAK VERTIKAL KE ATAS:

adalah gerak benda yang dilempar dengan suatu kecepatan awal v₀ pada arah vertikal, sehingga a = -g (melawan arah gravitasi).

syarat suatu benda mencapai tinggi maksimum (h _maks): V_t = 0

Dalam penyelesaian soal gerak vertikal keatas, lebih mudah diselesaikan dengan menganggap posisi di tanah adalah untuk Y = 0.

Contoh:

1. Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu-X dengan persamaan lintasannya: X = 5t² + 1, dengan X dalam meter dan t dalam detik. Tentukan:

a. Kecepatan rata-rata antara t = 2 detik dan t = 3 detik.
b. Kecepatan pada saat t = 2 detik.
c. Jarak yang ditempah dalam 10 detik.
d. Percepatan rata-rata antara t = 2 detik dan t = 3 detik.

Jawab:

a. v _rata-rata = DX / Dt = (X₃ – X₂) / (t₃ – t₂) = [(5 . 9 + 1) - (5 . 4 + 1)] / [3 - 2] = 46 – 21 = 25 m/ detik

b. v₂ = dx/dt |_t=2 = 10 |_t=2 = 20 m/detik.

c. X₁₀ = ( 5 . 100 + 1 ) = 501 m ; X₀ = 1 m

Jarak yang ditempuh dalam 10 detik = X₁₀ – X₀ = 501 – 1 = 500 m

d. a _rata-rata = Dv / Dt = (v₃- v₂)/(t₃ – t₂) = (10 . 3 – 10 . 2)/(3 – 2) = 10 m/det²

2. Jarak PQ = 144 m. Benda B bergerak dari titik Q ke P dengan percepatan 2 m/s² dan kecepatan awal 10 m/s. Benda A bergerak 2 detik kemudian dari titik P ke Q dengan percepatan 6 m/s² tanpa kecepatan awal. Benda A dan B akan bertemu pada jarak berapa ?

Jawab:

Karena benda A bergerak 2 detik kemudian setelah benda B maka t_B = t_A + 2.

S_A = v₀.t_A + 1/2 a.t_A² = 0 + 3 t_A²
S_B = v₀.t_B + 1/2 a.t_B² = 10 (t_A + 2) + (t_A + 2)²

Misalkan kedua benda bertemu di titik R maka
S_A + S_B = PQ = 144 m
3t_A² + 10 (t_A + 2) + (t_A + 2)² = 144
2t_A² + 7t_A – 60 = 0

Jadi kedua benda akan bertemu pada jarak S_A = 3t_A² = 48 m (dari titik P).

3. Grafik di bawah menghubungkan kocepatan V dan waktu t dari dua mobil A dan B, pada lintasan dan arah sama. Jika tg a = 0.5 m/det, hitunglah:
a. Waktu yang dibutuhkan pada saat kecepatan kedua mobil sama.
b. Jarak yang ditempuh pada waktu menyusul

Jawab:

Dari grafik terlihat jenis gerak benda A dan B adalah GLBB dengan V₀(A) = 30 m/det dan V₀(B) = 0.

a. Percepatan kedua benda dapat dihitung dari gradien garisnya,

jadi : a_A = tg a = 0.5
10/t = 0.5 ® t = 20 det

a_B = tg b = 40/20 = 2 m/det

b. Jarak yang ditempuh benda

S_A = V₀ t + 1/2 at² = 30t + 1/4t²

S_B = V₀ t + 1/2 at² = 0 + t²

pada saat menyusul/bertemu : S_A = S_B ® 30t + 1/4 t² = t² ® t = 40 det

Jadi jarak yang ditempuh pada saat menyusul : S_A = S_B = 1/2 . 2 . 40² = 1600 meter

GERAK PARABOLA

Gerak ini terdiri dari dua jenis, yaitu:

1. Gerak Setengah Parabola

Benda yang dilempar mendatar dari suatu ketinggian tertentu dianggap tersusun atas dua macam gerak, yaitu :

a.	Gerak pada arah sumbu X (GLB) vx = v0 Sx = X = vx t	Gbr. Gerak Setengah Parabola
b.	Gerak pada arah sumbu Y (GJB/GLBB) vy = 0 ]® Jatuh bebas y = 1/2 g t2

2. Gerak Parabola/Peluru

Benda yang dilempar ke atas dengan sudut tertentu, juga tersusun atas dua macam gerak dimana lintasan
dan kecepatan benda harus diuraikan pada arah X dan Y.

a.	Arah sb-X (GLB) v0x = v0 cos q (tetap) X = v0x t = v0 cos q.t	Gbr. Gerak Parabola/Peluru
b.	Arah sb-Y (GLBB) v0y = v0 sin q Y = voy t – 1/2 g t2 = v0 sin q . t – 1/2 g t2 vy = v0 sin q – g t

Syarat mencapai titik P (titik tertinggi): v_y = 0

t_op = v₀ sin q / g

sehingga

t_op = t_pq
t_oq = 2 t_op

OQ = v_0x t_Q = V₀² sin 2q / g

h _max = v _oy t_p – 1/2 gt_p² = V₀² sin² q / 2g

vt = Ö (vx)² + (vy)²

Contoh:

1. Sebuah benda dijatuhkan dari pesawat terbang yang sedang melaju horisontal 720 km/jam dari ketinggian 490 meter. Hitunglah jarak jatuhnya benda pada arah horisontal ! (g = 9.8 m/det²).

Jawab:

vx = 720 km/jam = 200 m/det. h = 1/2 gt2 ® 490 = 1/2 . 9.8 . t2 t = 100 = 10 detik X = vx . t = 200.10 = 2000 meter

2. Peluru A dan peluru B ditembakkan dari senapan yang sama dengan sudut elevasi yang berbeda; peluru A dengan 30^o dan peluru B dengan sudut 60^o. Berapakah perbandingan tinggi maksimum yang dicapai peluru A dan peluru B?

Jawab:

Peluru A:

h_A = V₀² sin² 30^o / 2g = V₀² 1/4 /2g = V₀² / 8g

Peluru B:

h_B = V₀² sin² 60^o / 2g = V₀² 3/4 /2g = 3 V₀² / 8g

h_A = h_B = V₀²/8g : 3 V₀² / 8g = 1 : 3

MODUL FISIKA

MATERI : GERAK MELINGKAR

KELAS /SM : X / I

Gerak melingkar terbagi dua, yaitu:

1. GERAK MELINGKAR BERATURAN (GMB)

GMB adalah gerak melingkar dengan kecepatan sudut (w) tetap.

Arah kecepatan linier v selalu menyinggung lintasan, jadi sama dengan arah kecepatan tangensial sedanghan besar kecepatan v selalu tetap (karena w tetap). Akibatnya ada percepatan radial ar yang besarnya tetap tetapi arahnya berubah-ubah. ar disebut juga percepatan sentripetal/sentrifugal yang selalu | v. v = 2pR/T = w R ar = v2/R = w2 R s = q R

2. Percepatan Tangensial (at)

Pada gerak melingkar berubah beraturan selain percepatan sentripetal (as) juga mempunyai percepatan tangensial (at).

Percepatan Tangensial (at) diperoleh :

maka : a_t = . R dengan arah menyinggung lintasan.

Partikel P memiliki komponen Percepatan :

a = a_t + a_s , dimana a_t tegak lurus a_s ( a_s a_t )

Besar Percepatan Linier Total partikel titik P :

a_t = percepatan tangensial (ms^-2)
a_s = percepatan sentripetal (ms^-2)
a = percepatan total (ms^-2)

Jika a_s = dan maka didapat :

Percepatan total (a) :

dimana

V = kelajuan linier (m/s)
R = jari-jari lintasan (m)
= percepatan sudut (rad s^-2)

Semua benda bergerak melingkar selalu memiliki percepatan sentripetal, tetapi belum tentu memiliki percepatan tangensial.

Percepatan tangensial hanya dimiliki bila benda bergerak melingkar dan mengalami perubahan kelajuan linier.

Benda yang bergerak melingkar dengan kelajuan linier tetap hanya memiliki percepatan sentripetal, tetapi tidak mempunyai percepatan tangensial (a_t = 0 ).

Contoh soal Konsep Gerak Melingkar Berubah Beraturan:
Sebuah roda mobil sedang berputar dengan kecepatan sudut 8,6 rad/s. Suatu gesekan kecil pada poros putaran menyebabkan suatu perlambatan sudut tetap sehingga akhirnya berhenti dalam waktu 192 s. Tentukan :

1. Percepatan sudut
2. Jarak yang telah ditempuh roda dari mulai bergerak sampai berhenti (jari-jari roda 20 cm)

Pembahasan :

Diketahui : ω₀= 8,6 rad/s

ω_t = 0 rad/s

t = 192 s
R = 10cm= 0,1 m

Ditanya : a.
b. x

Jawab :

a.

= - 0,045 rads^-2

b.

= (8,6).(192) + (-0,045).(192)²

= 826 rad

x = R.θ

= (0,1m),(826)

= 82,6 m

Ayunan Konis
Ayunan Konis (Ayunan Kerucut) adalah putaran sebuah benda yang diikat pada seutas tali yang panjangnya L ujung atas tali diikat pada satu titik tetap dan benda diputar mengitari permukaan membentuk kerucut.

Gaya yang bekerja adalah Tx sebagai gaya sentripetal yang menyebabkan benda bergerak melingkar beraturan pada bidang horizontal.
Tx = Fs

Pada Sumbu Y :
Benda tidak bergerak,maka sesuai hukum I Newton.
Fy = 0
Tcosθ – mg = 0
T cos θ = mg ....... (2)

Dari pers (1) dan (2) diperoleh :

dimana

V = kelajuan ayunan(m/s)
g = percepatan gravitasi (ms^-2)
R = jari-jari (m)
θ = besar sudut putar(rad)

Contoh soal Ayunan Konis/kerucut:
Seutas tali dengan panjang 1 m, ujung atasnya dipegang dan ujung bawah dikaitkan ke benda bermassa 100 g.Kemudian tali diputar sehingga benda bergerak melingkar horisontal dengan jari-jari lingkaran 0,5 m. Hitunglah :
a. besar tegangan tali
b. kelajuan linier benda

Pembahasan :

Diketahui : L =1 m
R = 0,5 m
m = 100g = 0,1 kg

Ditanya :
a. T
b. V

Jawab :

(a) (b) (c)

Berdasarkan gambar (b) : tan θ = = 0,58 , cos θ =

a. Ty = mg .

T cos θ = (0,1).(10)

T = N

b.
= 1,70 m/s

2. GERAK MELINGKAR BERUBAH BERATURAN (GMBB)

GMBB adalah gerak melingkar dengan percepatan sudut a tetap.

Dalam gerak ini terdapat percepatan tangensial a_T = percepatan linier, merupakan percepatan yang arahnya menyinggung lintasan lingkaran (berhimpit dengan arah kecepatan v).

a = Dw/Dt = a_T / R

a_T = dv/dt = a R

T = perioda (detik)
R = jarijari lingkaran.
a = percepatan angular/sudut (rad/det²)
a_T = percepatan tangensial (m/det²)
w = kecepatan angular/sudut (rad/det)
q = besar sudut (radian)
S = panjang busur

Hubungan besaran linier dengan besaran angular:

vt = v0 + a t wt S = v0 t + 1/2 a t2

Þ w0 + a t Þ q = w0 + 1/2 a t2

Contoh:

1. Sebuah mobil bergerak pada jalan yang melengkung dengan jari-jari 50 m. Persamaan gerak mobil untuk S dalam meter dan t dalam detik ialah:

S = 10+ 10t – 1/2 t²

Hitunglah:
Kecepatan mobil, percepatan sentripetal dan percepatan tangensial pada saat t = 5 detik !

Jawab:

v = dS/dt = 10 – t; pada t = 5 detik, v₅ = (10 – 5) = 5 m/det.
- percepatan sentripetal : a_R = v₅²/R = 5²/50 = 25/50 = 1/2 m/det²
- percepatan tangensial : a_T = dv/dt = -1 m/det²